2022年高考数学全国卷I的立体几何大题,需要同时运用几何法和代数法来解决。第一小题用几何法,而且是小学的立体几何问题。整张卷子,不仅这一处,还有很多地方可以看到小学数学问题的痕迹。

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2根号2.

(1)求A到平面A1BC的距离;

(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

分析:(1)第一小题所求的距离,其实是三棱锥A1-ABC一个面A1BC上的高。而这个三棱锥与三棱柱ABC-A1B1C1有相同的底面ABC, 又有同一条的高(是底面ABC上的高,不是上面所说的高)。而三棱锥的体积是同底等高的三棱柱体积的三分之一,也就是三分之四个立方单位。

另一方面,由三棱锥的体积公式,已知一个面的面积,就可以求得这个面上的高,也就是我们要求的距离。这就是一个小学立体几何的问题嘛。

(2)不过第二小题就没有那么容易了。直接作出二面角,用纯几何的方法来解决这个问题,恐怕有一定难度。因为老黄受限于空间想象能力的不足,所以只能用代数法来解决。

代数法,就是给图形建空间坐标系,然后利用向量运算来解决。但这个图想直接建系也不太可能。还需要找到适合建系的原点。观察图形之后,发现B点可以做空间坐标系的原点。但仍需用几何证明的方法,证明AB,BC,和BB1两两互相垂直,才能用它们做坐标轴。下面开始组织解题过程:

解:(1)记A到平面A1BC的距离为h, 则

V三棱锥A1-ABC=hS△A1BC/3=V三棱柱ABC-A1B1C1/3=4/3,

∴h=4/(2根号2)=根号2. 即A到平面A1BC的距离为根号2.

(2)取A1B的中点E, 连接AE, DE,

则AE=根号2, AA1=AB=2, A1B=2根号2,【首先,AE就是点A到平面A1BC的距离。因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,AE在平面ABB1A1上,且垂直于两个平面的交线A1B,所以AE垂直于平面A1BC。另一方面,因为AA1=AB,因此三角形ABA1是等腰直角三角形,从而推出后面各条线段的长

AE=A1B/2, AD=A1C/2, DE=BC/2, 【其中前两个等式都可以由直角三角形斜边中线与斜边的关系得到,后面的等式是由三角形的中位线定理得到的。】

∴Rt△AED∽Rt△A1BC,【因为三边成比例,这里关键是推知三角形A1BC是一个直角三角形】

BC=2S△A1BC/AB=2, 【直角三角形面积公式的变形】

又AE⊥BC,A1B⊥BC, 所以BC⊥平面AA1B,所以BC⊥AB,【这就形成了建系的充分条件

以B为原点, AB为x轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间坐标系,则【三条坐标轴转换一下也没有什么关系,后面的坐标做出相应调整就可以了】

B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), A1(2,0,2),D(1,1,1),

向量BD=(1,1,1), 向量BA=(2,0,0),

设平面ABD的法向量n=(x,y,z),

则2x=0, x+y+z=0, 解得:x=0, y=-z,

取y=1,则向量n=(0,1,-1),【只要y不取0就可以了,因为一个平面是有无穷多个 法向量的】

同理,求得平面BCD的法向量m=(-1,0,1),

cosθ=|向量n*向量m|/(|向量n|*|向量m|)=1/2,

sinθ=根号(1-(cosθ)^2)=根号3/2.

只要建立了空间坐标系,一切就水到渠成了。您能用纯粹的几何方法解决这个问题吗?请不吝分享出来哦!

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